Геометрические фигуры ℹ️ формулы вычисления объема всех фигур и многогранников, обозначения и единицы измерения величины

Объём —

это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жорданом (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Для определения объёма существует несколько существенно различных подходов, которые дополняют друг друга и согласованы по конечному результату на «хороших множествах». Обычно под понятием объёма понимается мера Жордана, но иногда мера Лебега. Для римановых многообразий понятие объёма вводится аналогично понятию площади поверхности.

Все формулы объема геометрических тел

Объем куба

КубОбъем куба

равен кубу длины его грани.

Формула объема куба: 

V = a 3

где:

V - объем куба, 

a - длина грани куба.

Объем призмы

ПризмаОбъем призмы

равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:Объем призмы

где:

V- объем призмы, 

S

o

 - площадь основания призмы, 

h - высота призмы.

Объем параллелепипеда

ПараллелепипедОбъем параллелепипеда

 равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда:Объем параллелепипеда

где:

V- объем параллелепипеда, 

S

o

 - площадь основания, 

h - длина высоты.

Объем пирамиды

Пирамида Объем пирамиды

равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).

Формула объема пирамиды:Объем пирамиды

где:

V - объем пирамиды, 

S

o

 - площадь основания пирамиды, 

h - длина высоты пирамиды.

Объем усеченной пирамиды

Усеченная пирамидаОбъем усеченной пирамиды

 равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S

1

(abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S

2

 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

Формула объема усеченной пирамиды:Объем усеченной пирамиды

Где:

S1 - площадь верхнего основания усеченной пирамиды,

S2 - площадь нижнего основания усеченной пирамиды,

h - высота усеченной пирамиды.

Объем цилиндра

Цилиндр Объем цилиндра 

равен произведению площади его основания на высоту.

Формула объема цилиндра:V= π RhV= Sоh

Где:

V - объем цилиндра, 

S

o

 - площадь основания цилиндра, 

R - радиус цилиндра, 

h - высота цилиндра, 

π = 3.141592

Объем правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида

Объем правильной треугольной пирамиды

 равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC) на высоту h (OS).

Формула объема правильной треугольной пирамиды:Объем правильной треугольной пирамиды

Где:

V - объем пирамиды;

h - высота пирамиды;

a - сторона основания пирамиды.

Объем конуса

КонусОбъем круглого конуса

 равен трети произведения площади основания S на высоту H.

Формула объема конуса:Объем конуса

Где:

V - объем конуса;

R - радиус основания;

H - высота конуса;

I - длина образующей;

S - площадь боковой поверхности конуса.

Объем усеченного конуса

Усеченный конус Объем усеченного конуса

равен разности объемов двух полных конусов.

Формула объема усеченного конуса:Объем усеченного конуса

Где:

V - объем усеченного конуса;

H - высота усеченного конуса;

R и R

- радиусы нижнего и верхнего оснований.

Объем тетраэдра

ТетраэдрОбъем тетраэдра

рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

Формула тетраэдра:Объем тетраэдра

Где:

V - объем тетраэдра;

a - ребро тетраэдра.

Объем шара

Шар

Объем шара

 равен четырем третьим от его радиуса в кубе перемноженного на число пи.

Формула объема шара:Объем шара

Где:

V  - объем шара;

R - радиус шара;

S - площадь сферы.

Объем шарового сегмента и сектора

Шаровой сегмент      Шаровой секторШаровый сегмент -

это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.

Формула объема шарового сегмента:Шаровый сегмент

Где:

R - радиус шара

H - высота сегмента

π ≈ 3,14

Формула объема шарового сектора:Объем шарового сектора

Где:

h - высота сегмента

R - радиус шара

π ≈ 3,14

Объем прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед Объем прямоугольного параллелепипеда

 равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:Объем прямоугольного параллелепипеда

Где:

V - объем прямоугольного параллелепипеда, 

a - длина, 

b - ширина, 

h - высота.

Добрый день, уважаемые гости!

Не припомню, чтобы мне кто-либо в школе из учителей показал одну общую формулу для расчета объема тел и площади фигур. Да и сейчас, просматривая домашнее задание детей - учителя заставляют учить формулы всех фигур наизусть!

Мой дедушка 60 лет преподает высшую математику в нескольких ВУЗах, и всегда говорил, что нынешняя подача знаний ученикам сильно запутывает человека, есть методы гораздо эффективнее сегодняшних, чтобы запомнить трудно усваиваемые вещи. И в этой небольшой статье, я хотел бы вам привести действительно одну универсальную формулу, и называется она в математике формулой Симпсона. (В первой части статьи будут описаны объемы тел, во второй - площади фигур).

Итак, формула объема:

V=(H/6)*(B1+4*B2+B3), где

H - высота тела;B1 - площадь нижнего основания;B2 - площадь сечения по центру тела;B3 - площадь верхнего основания.

Чтобы не быть голословным, доказывается все следующим образом:

Цилиндр и призма (в т.ч. параллелепипед и куб)

Формула для нахождения объема этих фигур из математики школьного курса: V=S*H

Одна универсальная формула для вычисления площади фигур и объема тел. (Мне в школе об этом не рассказывали)

Согласно формуле Симпсона, так как площади оснований между собой равны В1=В2=В3, получаем:

V=(H/6)*(B1+4*B1+B1)=Н/6*6*В1 = Н*В1, что и требовалось доказать!

Конус, пирамида, усеченный конус

Формула для нахождения объема конуса и пирамиды из математики школьного курса следующая: V = (S*H)/3

Одна универсальная формула для вычисления площади фигур и объема тел. (Мне в школе об этом не рассказывали)

Для пирамиды и конуса согласно формулы Симпсона, получаем:

V=(Н/6) * (В1 + 4*(В1/4) + 0) = Н/6 * 2 * В1 = (Н*В1)/3, что и требовалось доказать!

Для усеченного конуса школьная формула представлена под объемным телом и справа представлена раскладка, как доказательство:

Одна универсальная формула для вычисления площади фигур и объема тел. (Мне в школе об этом не рассказывали)

Усеченная пирамида доказывается аналогичным образом.

Шар (Сфера)

Для сферы школьная формула также представлена под рисунком и справа приведено доказательство:

Одна универсальная формула для вычисления площади фигур и объема тел. (Мне в школе об этом не рассказывали)
Вы согласны, что данная формула имеет весомые аргументы, чтобы называтьсяуниверсальной? Более того, она даже подходит для вычисления площадей плоских фигур, только В1, В2 и В3 - теперь принимают значения не площадей оснований, а значения длин оснований!

Та же самая формула, формула нахождения площадей:

S=H/6*(B1+4*B2+B3), где

H - высота фигуры;B1 - длина нижнего основания;B2 - длина отрезка по центру фигуры;B3 - длина верхнего основания.

Параллелограмм или прямоугольник

Одна универсальная формула для вычисления площади фигур и объема тел. (Мне в школе об этом не рассказывали)

Трапеция

Одна универсальная формула для вычисления площади фигур и объема тел. (Мне в школе об этом не рассказывали)

Треугольник

Одна универсальная формула для вычисления площади фигур и объема тел. (Мне в школе об этом не рассказывали)

Так что, запоминайте эту единственную коротенькую формулу, чтобы не держать все в голове!

Краткость - сестра таланта!

Спасибо Вам за терпение и за внимание! Читайте также мои похожие статьи:

Применяем на практике знания по геометрии! Чего не хватает детям и что не рассказывают в школе?

Построение прямых углов на участке? Варианты, которые не все знают!

Вам не придётся прыгать по кровле с измерительным инструментом. Как применять тригонометрию в жизни и в сфере строительства

Добавить комментарий