КОНУС формулы объема, площади поверхности

Конус – это геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. У каждого конуса есть основание и боковая поверхность.

Любой конус характеризуется высотой h (осевой линией), радиусом r и образующей l (см. рисунок). Именно эти характеристики используются в формулах конуса при вычислении объема, площади поверхности и площади боковой поверхности.

Высота конуса (осевая линия) – это перпендикуляр, проведенный из вершины конуса к основанию.

Радиус конуса – это радиус его основания.

Образующая конуса – это отрезок, который соединяет вершину конуса с любой точкой, лежащей на линии окружности основания.

Формула образующей конуса

Образующую конуса можно найти, зная ее высоту H и радиус R:

Формула площади боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса можно получить, зная его радиус R и образующую L:

Формула площади основания конуса

Площадь основания конуса можно вычислить по его радиусу R:

Формула площади конуса

Площадь поверхности конуса можно получить, сложив площадь боковой поверхности и площадь основания конуса:

S = Sбок.пов + Sосн = πRL + πR2

Формула объема конуса

Объем конуса можно вычислить, зная его высоту H и площадь основания:

V = 1/3 ⋅ Sосн ⋅ H = 1/3πR2H

Образующая конуса это отрезочек, который соединяет вершинку конуса с основанием. Для того чтобы найти эту образующую, необходимо воспользоваться формулой Пифагора. К примеру вам необходимо найти образующую конуса, у которого диаметр основания равен 24 сантиметрам, а высота его пять сантиметров. Чтобы найти образующую конуса, для начала вам нужно найти радиус конуса, для этого его диаметр делим на два. Радиус конуса будет равен 12 сантиметрам. Теперь согласно теореме Пифагора, из радиуса и высоты находим образующую.

1 

Можете мысленно провести линию от основания центра конуса, до его вершины, у вас получилось два треугольника с двумя катетами и гипотенузой. Теперь вам нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов высоты и радиуса конуса. В нашем примере эту будет так, 12 возводим во вторую степень и получаем число 144, высоту тоже возводим в степень и получаем число 25. Теперь оба параметра складываем у нас получается число 169. Теперь его нужно извлечь из квадратного корня. У нас получилось число 13, Полученное число и есть образующая конуса.

Пространственные фигуры подробно рассматриваются в старших классах общеобразовательных школ в курсе стереометрии. Данная статья содержит ответ на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого и образующую соответствующей усеченной фигуры.

Фигура конус

Чтобы понять, как найти образующую конуса, следует дать представление об этой фигуре. Круглым прямым конусом называют фигуру вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Рисунок ниже демонстрирует процесс вращения.

Развивающая функция обучения: цель, основные принципыВам будет интересно:Развивающая функция обучения: цель, основные принципы

Конус - фигура вращения треугольника

Полученная пространственная фигура имеет следующие характеристики:

  • Сторона AB треугольника является высотой h конуса. Она лежит на оси вращения фигуры.
  • Сторона AC треугольника - это радиус r конуса. Круг, который описывает этот радиус, называется основанием фигуры.
  • Сторона CB треугольника для конуса является его образующей, или генератрисой. Это название она получила за то, что в процессе вращения она описывает коническую поверхность.
  • Вершина B треугольника - это вершина конуса.
  • Заметим, что высота фигуры пересекает круглое основание в его центре. Это является достаточным условием, чтобы считать конус прямым.

    Образующая конуса

    Теперь можно переходить к ответу на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого. Выше было сказано, что она представляет собой отрезок, который лежит на конической поверхности и соединяет вершину с точкой окружности основания. В прямоугольном треугольнике, из которого был конус получен, образующая является гипотенузой. Это наблюдение позволяет записать известную теорему Пифагора, связав образующую g с радиусом r и высотой h фигуры. Формула, как найти образующую конуса, имеет вид:

    g = √(r2 + h2)

    Помимо этой формулы, на практике вместо высоты или радиуса фигуры может быть известен угол φ между образующей и основанием. В этом случае генератрису g можно рассчитать с помощью следующих выражений:

    g = h/sin(φ);

    g = r/cos(φ)

    Эти формулы следуют из свойств тригонометрических функций синуса и косинуса.

    Таким образом, вычисление образующей конуса возможно, если знать любые два параметра фигуры.

    Фигура конус усеченный

    Он также является фигурой вращения, только вместо прямоугольного треугольника следует вращать прямоугольную трапецию. На рисунке ниже показан усеченный конус.

    Усеченный конус и трапеция

    Здесь синие стрелки показывают прямоугольную трапецию. Длина вертикальной стрелки является высотой h фигуры, длины двух других синих стрелок - это радиусы оснований конуса. В отличие от цилиндра, основания усеченного конуса имеют разную площадь. Обозначим их радиусы r1 и r2. Четвертая наклонная к основанию сторона трапеции является образующей или генератрисой. Как и для обычного конуса, для усеченного все генератрисы равны друг другу и образуют боковую поверхность фигуры.

    Заметим, что усеченный конус получил такое название потому, что его можно получить не только вращением трапеции, но и с помощью отсечения плоскостью верхней части круглого прямого конуса.

    Образование усеченного конуса

    Генератриса усеченной фигуры

    Итак, мы познакомились с усеченным конусом, а также с понятием о его образующей. Как находить образующую конуса усеченного? Для того чтобы получить нужную формулу, заметим, если высоту h перенести параллельно самой себе к боковой поверхности конуса так, чтобы она касалась одним концом образующей фигуры, то получится прямоугольный треугольник. Его сторонами будут высота h (катет), генератриса g (гипотенуза) и r1-r2 (катет). Тогда можно записать формулу для определения g:

    g = √((r1 - r2)2 + h2)

    Соответственно, если дан острый угол φ1 между большим основанием и генератрисой, тогда последнюю можно определить так:

    g = h/sin(φ1);

    g = (r1 - r2)/cos(φ1)

    Если же известен тупой угол φ2 между малым основанием и генератрисой, тогда для ее вычисления необходимо применять такие выражения:

    g = h/sin(φ2);

    g = (r2 - r1)/cos(φ2)

    Здесь первая формула является точно такой же, как для угла φ1, а во второй формуле радиусы в числителе поменялись местами.

    Таким образом, найти образующую конуса усеченного можно, если знать любые три его параметра.

    Источник

    Задание.Как найти образующую конуса, если диаметр его основания равен 12 см, а высота равна 8 см.

    Решение.Изобразим схематически конус, на котором обозначим его высоту, радиус основания и образующую. Образующая конуса соединяет его вершину с одной из точек на окружности основания конуса. Радиус также соединяет центр окружности с любой из точек на этой окружности. Поэтому можем изобразить радиус и высоту на рисунке так, как нам будет удобно использовать их для решения задачи. Пусть концы радиуса и образующей совпадают.Из рисунка хорошо видно, что из высоты, радиуса и образующей получается прямоугольный треугольник, к которому можно применить теорему Пифагора. Запишем уравнение для данного треугольника:

    \[{obrazuyuschaya}^2={visota}^2+{radius}^2\]

    Значение высоты известно из условия, радиус можно найти через диаметр. Таким образом, вычислим значение образующей.Итак, найдем длину радиуса, зная, что диаметр равен 12 см:radius=\frac{diametr}{2}=\frac{12}{2}=6 (см).Теперь подставим известные значения в теорему Пифагора:

    \[{obrazuyuschaya}^2={visota}^2+{radius}^2\]

    \[{obrazuyuschaya}^2=8^2+6^2\]

    \[{obrazuyuschaya}^2=64+36\]

    \[{obrazuyuschaya}^2=100\]

    obrazuyuschaya=10 (см).

    Ответ. 10 см.

    В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы и виды одной из самых распространенных фигур в пространстве – конуса. Представленная информация сопровождается соответствующими рисунками для лучшего восприятия.

    Определение конуса

    Далее мы будем рассматривать самый распространенный вид конуса – прямой круговой. Остальные возможные варианты фигуры перечислены в последнем разделе публикации.

    Итак, прямой круговой конус – это трехмерная геометрическая фигура, полученная путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов, который в данном случае будет являться осью фигуры. Ввиду этого иногда такой конус называют конусом вращения.

    Конус

    Конус на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ACD (или BCD) вокруг катета CD.

    Основные элементы конуса

    • R – радиус круга, являющегося основанием конуса. Центр круга – точка D, диаметр – отрезок AB.
    • h (CD) – высота конуса, одновременно являющаяся осью фигуры и катетом прямоугольных треугольников ACD или BCD.
    • Точка C – вершина конуса.
    • l (CA, CB, CL и CM) – образующие конуса; это отрезки, соединяющие вершину конуса с точками на окружности его основания.
    • Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник ABC, который образуется в результате пересечения конуса плоскостью проходящей через его ось.
    • Поверхность конуса – состоит из его боковой поверхности и основания. Формулы для расчета площади поверхности, а также объема прямого кругового конуса представлены в отдельных публикациях.

    Между образующей конуса, его высотой и радиусом основания есть взаимосвязь (согласно теореме Пифагора):

    l2 = h2 + R2

    Развёртка конуса – боковая поверхность конуса, развернутая в плоскость; является круговым сектором.

    Развертка конуса

    • длина дуги сектора равняется длине окружности основания конуса (т.е. 2πR);
    • α – угол развёртки (или центральный угол);
    • l – радиус сектора.

    Примечание: Основные свойства конуса мы рассмотрели в отдельной публикации.

    Виды конусов

    1. Прямой конус – имеет симметричное основание. Ортогональная проекция вершины данной фигуры на плоскость основания совпадает с центром этого основания.Прямой круговой конус
    2. Косой (наклонный) конус – ортогональная проекция вершины фигуры на ее основание не совпадает с центром этого основания.Косой (наклонный) конус
    3. Усеченный конус (конический слой) – часть конуса, которая остается между его основанием и секущей плоскостью, параллельной данному основанию.Усеченный конус (конический слой)
    4. Круговой конус – основанием фигуры является круг. Также бывают: эллиптический, параболический и гиперболический конусы.
    5. Равносторонний конус – прямой конус, образующая которого равняется диаметру его основания.

    Добавить комментарий